| 研究テーマ |
- （１）
曲率が下から押えられたリーマン多様体の研究
- （２）
Steiner treeに関する予想
- （３）
Pansuの方法の改良
- （４）
共役点の無い空間の平坦性
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| 研究概要 |
- （１）
曲率が下から押えられたリーマン多様体の研究を主に行っている。
曲率は、断面曲率、リッチ曲率、放射断面曲率、放射リッチ曲率である。
また、曲率が下から押えられたリーマン多様体のGromov-Hausdorff極限空間として現れる
特異空間の研究も行っている。
- （２）
Steiner比に関するGilbert-Pollak予想
の解決を目標としている。
Gilbert-Pollak予想についてのDu-Hwangの論文はこちら。
Gilbert-Pollak予想をopenに戻したIvanov-Tuzhilinの声明はこちら。
- （３）
Gromovの本に寄稿したPansuの論文の訂正を目指し、その方法を正曲率多様体へ応用する。
- （４）
次の予想を解決することを目的とする：
「共役点の無いコンパクトリーマン多様体の基本群が可解群ならば、それは平坦である。」
この予想が載っている論文はこちら、CrokeとSchroederの論文である。
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| 研究の特色 |
- （１）
曲率の下限などで測地線の振る舞いを制御し、リーマン多様体の位相や幾何・微分構造を研究する。
主に使うのは各種の比較定理や、曲率などがみたす２階線形常微分方程式の正値解に対するGronwall型の評価式である。
このGronwall型の評価式はべき級数展開を基礎にしており、収束半径が小さい（ある意味最適）のと、
積分形ではないので、他の展開公式（連分数など）による評価式を目指す。
- （２）
２次元だけでは無く、高次元のSteiner比の問題を解決しようとしている。
また、Steiner比の問題は内部最小木と特性領域の「離れ具合の最大値」と捉えられるので、等周問題の１つとも考えている。
- （３）
部分集合へ（空間パラメータをもつ）測度を与え、その部分集合の外部の微分・幾何構造を研究する。
研究のきっかけは、PansuがGromovの本に寄稿した論文であり、その計算に間違いを発見した。
そのギャップを埋めることと、高い余次元の擬凸埋め込みを研究する。
- （４）
共役点の無いトーラスの平坦性を証明したBurago-Ivanovの論文が研究の発端である。
自身の研究では、葉層構造（foliation）へClairautの関係式の一般化の式を適用する予定である。
平坦性を言うにはもちろん、曲率の正値性と負値性を消す必要があるが、
Busemann関数やrayは正値性、Clairautの関係式の一般化の式は負値性、それぞれを消滅させる効果があると考えている。
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